Prędkość fal w naprężonym sznurze

Jak wspomniano w module Prędkość fal i równanie falowe, obliczenie prędkości rozchodzenia się fali w naprężonym sznurze (strunie) pozwala na wyprowadzenie równania falowego.

Spróbujmy wyprowadzić wzór na zależność prędkości \( v \) fali od siły \( F \) naprężającej sznur i od \( \mu = m/l \) tj. masy przypadającej na jednostkę długości sznura. W tym celu rozpatrzmy mały wycinek sznura o długości \( dx \) pokazany na Rys. 1.

: Element sznura o długości {OPENAGHMATHJAX()}dx{OPENAGHMATHJAX}

Rysunek 1: Element sznura o długości \( dx \)

Końce wycinka sznura tworzą z osią \( x \) małe kąty \( \theta_1 \) i \( \theta _{2} \). Dla małych kątów \( \theta \approx \sin\theta \approx dy/dx \).
Wypadkowa pionowa siła tj. siła wychylająca sznur w kierunku \( y \) wynosi

(1)

\( F_{{{wyp}}}=F\sin\theta_{{2}}-F\sin\theta _{{1}}={F\theta }_{{2}}-{F\theta}_{{1}} \)

Zgodnie z zasadą dynamiki siła wypadkowa jest równa iloczynowi masy wycinka \( dm = \mu dx \) i jego przyspieszenia. Stąd

(2)

\( F_{{{wyp}}}={F\theta}_{{2}}-{F\theta }_{{1}}=({\mu dx})\frac{\partial v_{{y}}}{\partial t}=({\mu dx})\frac{\partial ^{{2}}y}{\partial t^{{2}}} \)

lub

(3)

\( \frac{\partial \theta }{\partial x}=\frac{\mu }{F}\frac{\partial^{{2}}y}{\partial t^{{2}}} \)

Uwzględniając, że \( {\theta =\partial y/\partial x} \) otrzymujemy

(4)

\( \frac{\partial ^{{2}}y}{\partial x^{{2}}}=\frac{\mu }{F}\frac{\partial^{{2}}y}{\partial t^{{2}}} \)

Jest to równanie falowe dla sznura (struny). Podstawmy teraz do tego równania odpowiednie pochodne równania fali harmonicznej \( {y=f(x,t)=A\sin({kx}-{\omega t})} \)

(5)

\( \frac{\partial ^{{2}}y}{\partial t^{{2}}}=-{A\omega}^{{2}}\sin({kx}-{\omega t}) \)

oraz

(6)

\( \frac{\partial ^{{2}}y}{\partial x^{{2}}}=-{Ak}^{{2}}\sin({kx}-{\omega t}) \)

W wyniku podstawienia otrzymujemy

(7)

\( k^{{2}}=\frac{\mu }{F}\omega ^{{2}} \)

Stąd możemy już obliczyć prędkość fali

(8)

\( v=\frac{\omega }{k}=\sqrt{\frac{F}{\mu }} \)

W ten sposób pokazaliśmy również, że zaproponowana przez nas funkcja Rozchodzenie się fal w przestrzeni-( 8 ) jest rozwiązaniem równania falowego ( 4 ) jeżeli spełniona jest zależność ( 7 ). Zwróćmy ponadto uwagę, że fala harmoniczna jest przenoszona wzdłuż struny prędkością niezależną od amplitudy i częstotliwości. Przepiszmy teraz równanie falowe z uwzględnieniem zależności ( 8 )

(9)

\( \frac{\partial ^{{2}}y}{\partial x^{{2}}}=\frac{1}{v^{{2}}}\frac{\partial ^{{2}}y}{\partial t^{{2}}} \)

Równanie falowe w tej postaci, stosuje się do wszystkich rodzajów rozchodzących się fal.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Fizyka

Prędkość fal w naprężonym sznurze